МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРА(НИ УЖГОРОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ІНСТИТУТ ІЕП ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ КАФЕДРА ФІЗИКО – МАТЕМАТИЧНИХ ДИСЦИПЛІН КУРСОВА РОБОТА Тема: Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Студента 2-го курсу Ресенчука Станіслава. Науковий керівник доцент Лавер О. Г. УЖГОРОД – 1998 р. Зміст Вступ.  Формули прямокутників і трапеції.  Параболічне інтерполювання.  Дроблення проміжку.  Залишковий член формули прямокутників.  Залишковий член формули трапеції.  Залишковий член формули Сімпсона.  Додаток 1.  Додаток 2.  Висновки.  Література.  Вступ. Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула Сімпсона.  Формули прямокутників і трапеції. Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу
, де
є деяка задана на проміжку
неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первісної, якщо вона виражається в скінченому вигляді, або ж – минуючи первісну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас інтегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення. В даній роботі можна ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної. Перші формули, які сюди відносяться, простіші всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл
як площу деякої фігури, яка обмежена кривою
, ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі. Перш за все, вдруге використовуючи ту думку, яка привела нас до самого поняття про визначений інтеграл, можна розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, скажемо однієї і той же ширини
, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули
, де

. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступінчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можна сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.
Мал. 1 На практиці зазвичай беруть
якщо відповідну середню ординату
позначити через
, то формула перепишеться у вигляді
. (1) Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу. Геометричні міркування природно приводять і до другої, наближеної формули, що часто використовується. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках
, де

. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (рис2.). Якщо, як і раніш рахувати, що проміжок
розбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть
.
Мал. 2 Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули
. (2) Це так звана формула трапецій. Можна показати, що при зростанні
до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменшується. Таким чином, при достатньо великому
обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності. Параболічне інтерполювання. Для наближеного обчислення інтеграла
можно спробувати замінити функцію
близьким до неї многочленом
(3) і покласти
Можна сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана крива
замінюється на параболу
- го порядку (3), в зв’язку з чим цей процес отримав назву параболічного інтерполювання. Сам вибір інтерполюючуго многочлена
частіше всього виконують наступним чином. У проміжку
беруть
значень незалежної змінної
і підбирають многочлен
так, щоб при усіх взятих значеннях
його значен...